Tοπολογία, η Γεωμετρία των Συμπαντικών παραδόξων...



Δρ Μάνος Δανέζης

Αστροφυσικός

 (Από το βιβλίο των Μάνου Δανέζης και Στράτου Θεοδοσίου: «Η Κοσμολογία της Νόησης – Εισαγωγή στην Κοσμολογία, Εκδόσεις Δίαυλος, Αθήνα 2003)

 Εισαγωγή
Οι  μαθηματικοί χώροι ταξινομούνται ως προς την καμπυλότητά τους  σε τρεις μεγάλες κατηγορίες: Τους σφαιρικούς οι οποίοι παρουσιάζουν καμπυλότητα ε>0 και εκφράζονται μέσω της Γεωμετρία Riemann, τους Ευκλείδειους ε=0 τους οποίους υπηρετεί η Γεωμετρία Ευκλείδη, και τέλος τους υπερβολικούς όπου ε<0 και μελετώνται μέσω της Γεωμετρία Lobathevsky.

Η Τοπολογία είναι ένας από τους νεότερους κλάδους της Γεωμετρίας που προσπαθεί να ταξινομήσει τις διάφορες μορφές χώρων μορφολογικά (ως προς τη μορφή τους). Με τον τρόπο αυτό οι ιδιότητες ενός χώρου, πλέον, δεν προσδιορίζονται μόνο από την καμπυλότητά του, αλλά και από την τοπολογία του.

Οι χώροι λοιπόν καθεμιάς από τις προηγούμενες κατηγορίες διακρίνονται σε μια σειρά υποκατηγοριών αναλόγως της τοπολογικής μορφής τους. Εξ ορισμού, βεβαίως, οι χώροι καθεμιάς από αυτές τις υποκατηγορίες, οι οποίοι διαφέρουν μόνο κατά την τοπολογική μορφή τους και όχι ως προς την καμπυλότητά τους, μπορούν να παράγουν ο ένας τον άλλο μέσω μιας σειράς μαθηματικών μετασχηματισμών.

Ας πάρουμε για παράδειγμα το σύνολο των δυνατών επιφανειών, τις οποίες, όπως είπαμε προηγουμένως μπορούμε να τις χωρίσουμε σε τρεις κατηγορίες ως προς την παρουσιαζόμενη καμπυλότητά τους. Στο εσωτερικό καθεμιάς από αυτές τις κατηγορίες, οι μαθηματικοί ξεχωρίζουν μια σειρά από δυνατές υποκατηγορίες ως προς την τοπολογική μορφή τους.
Στην περίπτωση ε=0 (Ευκλείδειοι χώροι) μπορούμε να διακρίνουμε τοπολογικές μορφές όπως εκείνες, του Ευκλείδειου επιπέδου, του κυλίνδρου, του τόρου, της ταινίας του Μέμπιους και της φιάλης Κλάιν.

 Στην περίπτωση ε>0 ανήκουν η επιφάνεια της σφαίρας και το προβολικό επίπεδο, το οποίο δεν μπορεί να απεικονιστεί πάντα.

Τέλος, στην κατηγορία χώρων με ε<0 ανήκουν άπειρα σχήματα επιφανειών, εντελώς διαφορετικών τοπολογικών μορφών.

Με βάση τα προηγούμενα, είναι φανερό ότι τα είδη των δυνατών χώρων δεν είναι μόνο τρία, όπως γνωρίζαμε μέχρι σήμερα διακρίνοντάς τα μόνο ως προς την καμπυλότητα, αλλά άπειρα, αν εισαγάγουμε και την έννοια της τοπολογίας τους.

Επομένως τα απλούστερα εν χρήσει κοσμολογικά μοντέλα, λόγω απλότητας, αγνοούν την τοπολογία, λαμβάνοντας υπόψη τους μόνο την καμπυλότητα του συμπαντικού χώρου.

Ειδικότερα στην περίπτωση του τετραδιάστατου μη Ευκλείδειου χωροχρόνου, οι τοπολογικές μεταβλητές είναι τόσο πολλές, ώστε το πρόβλημα μελέτης της δομής του Σύμπαντος φαντάζει άλυτο. Γι’ αυτό καταφεύγουμε στη διατύπωση αναπόδεικτων αρχικών αξιωματικών προτάσεων, τις οποίες διαισθητικά μόνο θεωρούμε ως ορθές. Η διατύπωση βέβαια αξιωματικών θέσεων μπορεί να δημιουργεί κινδύνους εισαγωγής σφαλμάτων στους υπολογισμούς, αλλά συγχρόνως μειώνει το πλήθος των τοπολογικών μεταβλητών, κάνοντας τα προβλήματα απλούστερα και δίνοντάς μας τη δυνατότητα επίλυσής τους. Πρέπει να τονίσουμε εδώ ότι οι μέχρι σήμερα τοπολογικές προτάσεις καλύπτουν την έννοια του χώρου, ενώ η τοπολογία του χρόνου αποτελεί ακόμα ένα επιστημονικό ζητούμενο.

Προσωπική μας άποψη είναι ότι από τη στιγμή που θα τολμήσουμε να συμπεριφερθούμε στο χρόνο σαν μια απλή επιπλέον χωρική διάσταση, κάτι που μας το επιτρέπει η Θεωρία της Σχετικότητας, η τοπολογία του χρόνου δεν θα χρειάζεται, αφού ο χρόνος θα αποτελεί μια επιπλέον χωρική συνιστώσα. Η άποψη αυτή θεμελιώνεται πάνω στο γεγονός ότι στα Μαθηματικά οι διαστάσεις είναι ισότιμες και ισοδύναμες και αν χρειαστεί να τις μετρήσουμε τις μετράμε με το αυτό μέτρο.

Βεβαίως πρέπει να σημειώσουμε ότι γνωρίζουμε πλέον ότι η τέταρτη διάσταση δεν έχει καμία σχέση με την έννοια του μετρούμενου με τα ρολόγια και τα ημερολόγιά μας. Ο ανθρωπίνως μετρούμενος χρόνος δεν αποτελεί παρά μια δευτερογενή ιδιότητα της 4ης διάστασης και δεν ταυτίζεται με αυτήν.

Ένα μεγάλο πρόβλημα, όμως, εμπειρικής απεικόνισης αναφύεται στην περίπτωση χώρων περισσοτέρων των τριών διαστάσεων. Στις περιπτώσεις αυτές, όπως έχουμε δει ήδη, δεν υπάρχει δυστυχώς η δυνατότητα γραφικής, απεικόνισης της καμπυλότητας, άρα και η ανθρωπίνως λογική κατανόησή της. Ωστόσο, το πρόβλημα γραφικής απεικόνισης, άρα και αισθητικής ανθρώπινης κατανόησης, γίνεται πολυπλοκότερο, αν υπεισέλθει και ο παράγοντας της τοπολογικής μορφής του χώρου.

Ως προς το ζήτημα αυτό η αγαπημένη διέξοδος των περισσότερων κοσμολόγων είναι η απεικόνιση των εν λόγω χώρων αναλόγως της μορφής που έχουν οι προβολές τους μέσα στον Ευκλείδειο χώρο τριών διαστάσεων. Η λογική αυτή, όποτε βέβαια είναι πρακτικά εφικτή, επικρίνεται σφοδρά από τους μαθηματικούς, εφόσον η προβολική εικόνα ενός χώρου δεν μεταφέρει πάντα, αν δεν αλλοιώνει, πολλές από τις ιδιότητες του προβαλλόμενου χώρου.

Οι δεκαοκτώ Ευκλείδειοι χώροι τριών διαστάσεων

Όπως αναφέρουν και οι J. P. Luminetκαι M. Lachieze-Rey (Η Φυσική και το άπειρο, Εκδόσεις Τραυλός-Κωσταράκης, Αθήνα 1994): «…Μπορούμε να αποδείξουμε ότι υπάρχουν δεκαοκτώ είδη χώρων τριών διαστάσεων μηδενικής καμπυλότητας, αλλά διαφορετικής τοπολογίας. Ο απλούστερος είναι ο κοινός Ευκλείδειος χώρος, τις ιδιότητες του οποίου μαθαίνουμε στο σχολείο, αλλά υπάρχουν και άλλοι που είναι κλειστοί και πεπερασμένοι. Τέτοιου είδους είναι, παραδείγματος χάριν, η περίπτωση του υπερτοροειδούς* που γενικεύει σε τρεις διαστάσεις την περίπτωση του τόρου.

Ένας υπερτόρος μπορεί να θεωρηθεί ως το εσωτερικό ενός κοινού κύβου, του οποίου οι αντίθετες όψεις ταυτίζονται ανά δύο. Βγαίνοντας από τη μία, ξαναγυρίζουμε αμέσως από την αντίθετη. Διαπιστώνουμε ότι ένας τέτοιος χώρος είναι πεπερασμένος. Από την άλλη πλευρά, υπάρχουν απεριόριστα είδη χώρων με αρνητική καμπυλότητα, ορισμένα κλειστά (πεπερασμένα) και άλλα ανοικτά (απεριόριστα). Τα τυποποιημένα μοντέλα Φρίντμαν-Λεμέτρ προϋποθέτουν την απλούστερη δυνατή τοπολογία χώρου (απλά συνεκτική**), αυτήν του κοινού χώρου (απεριόριστη) για τον Ευκλείδειο ή τον υπερβολικό χώρο, ή αυτόν της σφαίρας τριών διαστάσεων (πεπερασμένη) για τον σφαιρικό χώρο. Αλλά δεν είναι οπωσδήποτε υποχρεωτικό να έχει ο χώρος τόσο απλή τοπολογία. Η Γενική Σχετικότητα δεν αναφέρει τίποτα πράγματι για την τοπολογία, επιβάλλει μόνο, με τις εξισώσεις του Αϊνστάιν, την τοπική γεωμετρία που χαρακτηρίζεται από την καμπυλότητα, αλλά δεν επιβάλλει τις γενικές ιδιότητες. Όλες οι τοπολογικές μεταβλητές του χώρου των τριών διαστάσεων μπορούν επομένως να χρησιμοποιηθούν για να κατασκευάσουμε σωστά μοντέλα του πραγματικού κόσμου, ορισμένα από τα οποία είναι συμβατά με τις παρατηρήσεις. Το βασικό ενδιαφέρον όλων αυτών έγκειται στο ότι ο χώρος μπορεί να είναι πεπερασμένος, σύμφωνα με αυτές τις μεταβλητές, ακόμα και αν η καμπυλότητά του είναι αρνητική ή μηδενική και, επομένως, ακόμα και αν η πυκνότητα της ύλης και η κοσμολογική σταθερά είναι πολύ μικρές. Έτσι θα πρέπει να εξαφανιστεί η διαδεδομένη άποψη της σύγχρονης Κοσμολογίας, σύμφωνα με την οποία ο χώρος είναι πεπερασμένος ή άπειρος ανάλογα με την ποσότητα ύλης που περιέχει».

* Τοροειδές σε δύο διαστάσεις ονομάζουμε την επιφάνεια που δημιουργείται από έναν κύκλο που γυρίζει γύρω από μια ευθεία, χωρίς να την αγγίζει. Ο τόρος αυτός έχει καμπυλότητα. Υπάρχουν όμως τόροι χωρίς καμπυλότητα, όπως εκείνοι που λαμβάνουμε όταν κολλάμε τα αντίθετα άκρα ενός ορθογωνίου. Το υπερτοροειδές είναι η γενίκευση του τοροειδούς σε τρεις διαστάσεις. Ο υπερτόρος που δημιουργείται όταν κολλάμε ανά δύο τις αντίθετες όψεις ενός παραλληλεπιπέδου είναι Ευκλείδειος χώρος κλεισμένος στον εαυτό του. Αν ο πραγματικός χώρος είναι υπερτόρος, οι εικόνες των μακρινών γαλαξιών θα ήταν δυνατόν να φαίνονται λιγότερες, σαν ένα είδος παιχνιδιού με μαγικούς καθρέφτες.

** Συνεκτικός ή απλά συνεκτικός ονομάζεται ένας χώρος μέσα στον οποίο υπάρχει μόνο μία διαδρομή για το φως που ταξιδεύει από μια πηγή προς τον παρατηρητή.

Τοπολογία και Κοσμολογία

Όπως αναφέρει ο Kip S. Thorne στο βιβλίο του: Μαύρες Τρύπες και στρεβλώσεις του Χρόνου (Εκδόσεις Κάτοπτρο, Αθήνα 1999)

«Γενικότερα, Τοπολογία είναι ένας κλάδος των Μαθηματικών ο οποίος ασχολείται με τον ποιοτικό τρόπο που συνδέονται μεταξύ τους ή με τον εαυτό τους, τα διάφορα αντικείμενα. Η τοπολογία ενδιαφέρεται μόνο για τις συνδέσεις και όχι για τα σχήματα, τα μεγέθη ή την καμπυλότητα των αντικειμένων».

Συνεχίζοντας ο Kip S. Thorne και διερευνώντας τη σχέση της Τοπολογίας με την Κοσμολογία φέρνει ως παράδειγμα το θεώρημα του Penrose*

 * To 1969 οι Άγγλοι θεωρητικοί αστροφυσικοί Stephen Hawking (1942-   ) και Roger Penrose (1931-    ) διατύπωσαν το επόμενο θεώρημα:

Oποιοδήποτε Σύμπαν πληροί τις επόμενες συνθήκες προέρχεται από μια μαθηματική ανωμαλία. Oι συνθήκες αυτές είναι:

α. Αληθεύει η Θεωρία της Σχετικότητας.

β. Δεν υπάρχουν κλειστές χρονοειδείς καμπύλες, δηλαδή τίποτα δεν μπορεί να επιστρέψει στο παρελθόν του.

γ. O χώρος δεν παρουσιάζει καμπυλότητα μηδέν.

δ. Yπάρχει μια κλειστή χρονοειδής υπερεπιφάνεια, γεγονός που φαίνεται να εξασφαλίζεται από την παρατηρηθείσα ισοτροπία της ακτινοβολίας μικροκυμάτων.

ε. H ενέργεια του Σύμπαντος έχει πάντα θετικές τιμές.

 αναφέροντας: «Το θεώρημα του Penrose, δεδομένου ότι βασιζόταν στην Τοπολογία, δεν μας πληροφορούσε σχετικά με την καμπυλότητα της ανωμαλίας (σημειακή ιδιομορφία δηλαδή το κέντρο μιας μελανής οπής), δηλαδή σχετικά με τις λεπτομέρειες της παλιρροιακής δράσης της. Το θεώρημα έλεγε απλά ότι κάπου στο εσωτερικό της μαύρης τρύπας ο χωροχρόνος φτάνει στο τέλος και πως οτιδήποτε φτάσει σ’ αυτό το τέλος καταστρέφεται. Το πώς καταστρέφεται ήταν αρμοδιότητα της καμπύλωσης, το γεγονός ότι καταστρέφεται –δηλαδή ότι ο χωροχρόνος έχει κάποιο τέλος- ήταν αρμοδιότητα της τοπολογίας».

Και συνεχίζει ο μεγάλος φυσικός: «Αυτά τα τοπολογικά προβλήματα είναι τόσο σημαντικά και τα σχετικά μαθηματικά εργαλεία έχουν τόση δύναμη να τα αντιμετωπίσουν ώστε με το να μας μυήσει ο Penrose στο χώρο της Τοπολογίας έφερε επανάσταση στην έρευνά μας. Με αφετηρία τις εν λόγω δημιουργικές ιδέες, ο ίδιος ο Penrose, καθώς και οι Hawking, RobertGeroch, GeorgesEllis και άλλοι φυσικοί, δημιούργησαν στα τέλη της δεκαετίας του 1960 ένα πανίσχυρο σύνολο τοπολογικών και γεωμετρικών εργαλείων για να τα χρησιμοποιήσουμε στους υπολογισμούς της Γενικής Σχετικότητας, τα οποία ονομάζουμε ολικές μεθόδους. Χρησιμοποιώντας αυτές τις μεθόδους, ο Hawking και ο Pensose απέδειξαν το 1970, δίχως να προβούν σε εξιδανικεύσεις, ότι το Σύμπαν μας πρέπει να είχε μια χωροχρονική ανωμαλία στην αρχική φάση της διαστολής του, κατά τη Μεγάλη Έκρηξη, και ότι αν κάποια μέρα καταρρεύσει πάλι θα δημιουργήσει μια ανωμαλία κατά τη Μεγάλη Σύνθλιψή του».



manosdanezis

Related Posts